Risolvi y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Trova y,.x

$$x=18$$

$$y=6$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai \frac{1}{3}x da entrambi i lati.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 3x a entrambi i lati.

$$y+3x=60$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Aggiungi \frac{x}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Sostituisci \frac{x}{3} a y nell'altra equazione y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Aggiungi \frac{x}{3} a 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{10}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$x=18$$

Sostituisci 18 a x in y=\frac{1}{3}x. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Moltiplica \frac{1}{3} per 18.

$$y=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=6,x=18$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai \frac{1}{3}x da entrambi i lati.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 3x a entrambi i lati.

$$y+3x=60$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=6,x=18$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai \frac{1}{3}x da entrambi i lati.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 3x a entrambi i lati.

$$y+3x=60$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Sottrai y+3x=60 a y-\frac{1}{3}x=0 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Aggiungi -\frac{x}{3} a -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{10}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$x=18$$

Sostituisci 18 a x in y+3x=60. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y+3\times 18=60$$

Moltiplica 3 per 18.

$$y+54=60$$

Sottrai 54 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=6$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=6,x=18$$