Risolvi x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Trova x,.y

$$x=32$$

$$y=27$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x-y=5$$

Aggiungi y a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=y+5$$

Sostituisci y+5 a x nell'altra equazione -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Moltiplica -4 per y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Aggiungi -4y a 5y.

$$y-20=7$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=27$$

Sostituisci 27 a y in x=y+5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=27+5$$

Aggiungi 5 a 27.

$$x=32$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=32,y=27$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=32,y=27$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Per rendere x e -4x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -4 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Semplifica.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Sottrai -4x+5y=7 a -4x+4y=-20 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Aggiungi -4x a 4x. I termini -4x e 4x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4y-5y=-20-7$$

Aggiungi 4y a -5y.

$$-y=-20-7$$

Aggiungi -20 a -7.

$$-y=-27$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$y=27$$

Sostituisci 27 a y in -4x+5y=7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-4x+5\times 27=7$$

Moltiplica 5 per 27.

$$-4x+135=7$$

Sottrai 135 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-4x=-128$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$x=32$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=32,y=27$$