Risolvi x(x-8)(x-4)^2=225

$$x ( x - 8 ) ( x - 4 ) ^ { 2 } = 225$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=-1$$

$$x=9$$

$$x=4-3i$$

$$x=4+3i$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-4\right)^{2}.

$$x\left(x-8\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-8.

$$\left(x^{2}-8x\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-8x per x^{2}-8x+16 e combinare i termini simili.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x=225$$

Sottrai 225 da entrambi i lati.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -225 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-1$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225 per x+1 per ottenere x^{3}-17x^{2}+97x-225. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$x^{3}-17x^{2}+97x-225=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -225 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=9$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi x^{3}-17x^{2}+97x-225 per x-9 per ottenere x^{2}-8x+25. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$x^{2}-8x+25=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -8 con b e 25 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 25}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{8±\sqrt{-36}}{2}$$

Risolvi l'equazione x^{2}-8x+25=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=4-3i x=4+3i$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$x=-1 x=9 x=4-3i x=4+3i$$

Trova x

$$x=9$$

$$x=-1$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-4\right)^{2}.

$$x\left(x-8\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-8.

$$\left(x^{2}-8x\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-8x per x^{2}-8x+16 e combinare i termini simili.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x=225$$

Sottrai 225 da entrambi i lati.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -225 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-1$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225 per x+1 per ottenere x^{3}-17x^{2}+97x-225. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$x^{3}-17x^{2}+97x-225=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -225 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=9$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi x^{3}-17x^{2}+97x-225 per x-9 per ottenere x^{2}-8x+25. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$x^{2}-8x+25=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -8 con b e 25 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 25}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{8±\sqrt{-36}}{2}$$

Poiché la radice quadrata di un numero negativo non è definita nel campo reale, non esistono soluzioni.

$$x\in \emptyset$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$x=-1 x=9$$