Risolvi x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Trova x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-2x+1, trova l'opposto di ogni termine.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combina 2x e 2x per ottenere 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Sottrai 6 da -1 per ottenere -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=-3 b=7$$

Riscrivi 3x^{2}+4x-7 come \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-2x+1, trova l'opposto di ogni termine.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combina 2x e 2x per ottenere 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Sottrai 6 da -1 per ottenere -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 4 a b e -7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Aggiungi 16 a 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±10}{6} quando ± è più. Aggiungi -4 a 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividi 6 per 6.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±10}{6} quando ± è meno. Sottrai 10 da -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-2x+1, trova l'opposto di ogni termine.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combina 2x e 2x per ottenere 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

E 6 e 1 per ottenere 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Dividi \frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Aggiungi \frac{7}{3} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Sottrai \frac{2}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$