Risolvi x^8-77x^4+16=0

$$x ^ { 8 } - 77 x ^ { 4 } + 16 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x\in \frac{\sqrt{2\left(\sqrt{85}-\sqrt{69}\right)}}{2},-\frac{i\sqrt{2\left(\sqrt{85}-\sqrt{69}\right)}}{2},\frac{i\sqrt{2\left(\sqrt{85}-\sqrt{69}\right)}}{2},-\frac{\sqrt{2\left(\sqrt{85}-\sqrt{69}\right)}}{2},-\frac{i\sqrt{2\left(\sqrt{69}+\sqrt{85}\right)}}{2},\frac{\sqrt{2\left(\sqrt{69}+\sqrt{85}\right)}}{2},\frac{i\sqrt{2\left(\sqrt{69}+\sqrt{85}\right)}}{2},-\frac{\sqrt{2\left(\sqrt{69}+\sqrt{85}\right)}}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sostituisci t per x^{4}.

$$t^{2}-77t+16=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -77 con b e 16 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-77\right)±\sqrt{\left(-77\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{77±\sqrt{5865}}{2}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{77±\sqrt{5865}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=\frac{\sqrt{5865}+77}{2} t=\frac{77-\sqrt{5865}}{2}$$

Poiché x=t^{4}, le soluzioni vengono ottenute risolvendo l'equazione per ogni t.

$$x=-\frac{i\sqrt{2\sqrt{69}+2\sqrt{85}}}{2} x=-\frac{\sqrt{2\sqrt{69}+2\sqrt{85}}}{2} x=\frac{i\sqrt{2\sqrt{69}+2\sqrt{85}}}{2} x=\frac{\sqrt{2\sqrt{69}+2\sqrt{85}}}{2} x=-\frac{i\sqrt{2\sqrt{85}-2\sqrt{69}}}{2} x=-\frac{\sqrt{2\sqrt{85}-2\sqrt{69}}}{2} x=\frac{i\sqrt{2\sqrt{85}-2\sqrt{69}}}{2} x=\frac{\sqrt{2\sqrt{85}-2\sqrt{69}}}{2}$$

Trova x

$$x=-\frac{\sqrt{2\left(\sqrt{85}-\sqrt{69}\right)}}{2}\approx -0,675618455$$

$$x=\frac{\sqrt{2\left(\sqrt{85}-\sqrt{69}\right)}}{2}\approx 0,675618455$$

$$x = \frac{\sqrt{2 {(\sqrt{69} + \sqrt{85})}}}{2} \approx 2,960250692$$

$$x = -\frac{\sqrt{2 {(\sqrt{69} + \sqrt{85})}}}{2} \approx -2,960250692$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sostituisci t per x^{4}.

$$t^{2}-77t+16=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -77 con b e 16 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-77\right)±\sqrt{\left(-77\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{77±\sqrt{5865}}{2}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{77±\sqrt{5865}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=\frac{\sqrt{5865}+77}{2} t=\frac{77-\sqrt{5865}}{2}$$

Poiché x=t^{4}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=±\sqrt[4]{t} per t positivo.

$$x=\frac{\sqrt{2\sqrt{69}+2\sqrt{85}}}{2} x=-\frac{\sqrt{2\sqrt{69}+2\sqrt{85}}}{2} x=\frac{\sqrt{2\sqrt{85}-2\sqrt{69}}}{2} x=-\frac{\sqrt{2\sqrt{85}-2\sqrt{69}}}{2}$$