Risolvi x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

Trova A (soluzione complessa)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right,$$

Procedura per la soluzione di equazioni lineari

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+A per x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Sottrai x^{4} da entrambi i lati.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combina x^{4} e -x^{4} per ottenere 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Sottrai Bx da entrambi i lati.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

Sottrai C da entrambi i lati.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Combina tutti i termini contenenti A.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

L'equazione è in formato standard.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

Dividi entrambi i lati per x^{2}-1.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

La divisione per x^{2}-1 annulla la moltiplicazione per x^{2}-1.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Trova B (soluzione complessa)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right,$$

Procedura per la soluzione di equazioni lineari

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+A per x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Sottrai x^{4} da entrambi i lati.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combina x^{4} e -x^{4} per ottenere 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Sottrai Ax^{2} da entrambi i lati.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

Aggiungi A a entrambi i lati.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

Sottrai C da entrambi i lati.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

Riordina i termini.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

L'equazione è in formato standard.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

Dividi entrambi i lati per x.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

La divisione per x annulla la moltiplicazione per x.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

Trova A

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right,$$

Procedura per la soluzione di equazioni lineari

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+A per x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Sottrai x^{4} da entrambi i lati.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combina x^{4} e -x^{4} per ottenere 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Sottrai Bx da entrambi i lati.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

Sottrai C da entrambi i lati.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Combina tutti i termini contenenti A.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

L'equazione è in formato standard.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

Dividi entrambi i lati per x^{2}-1.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

La divisione per x^{2}-1 annulla la moltiplicazione per x^{2}-1.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Trova B

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right,$$

Procedura per la soluzione di equazioni lineari

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+A per x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Sottrai x^{4} da entrambi i lati.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combina x^{4} e -x^{4} per ottenere 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Sottrai Ax^{2} da entrambi i lati.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

Aggiungi A a entrambi i lati.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

Sottrai C da entrambi i lati.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

Riordina i termini.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

L'equazione è in formato standard.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

Dividi entrambi i lati per x.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

La divisione per x annulla la moltiplicazione per x.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$