Risolvi x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Scomponi in fattori

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Procedura della soluzione

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 40 e q divide il coefficiente iniziale 1. Una radice di questo tipo è -5. Fattorizza il polinomio dividendolo per x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Considera x^{3}+x^{2}-10x+8. Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 8 e q divide il coefficiente iniziale 1. Una radice di questo tipo è -4. Fattorizza il polinomio dividendolo per x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Considera x^{2}-3x+2. Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-2 b=-1$$

Riscrivi x^{2}-3x+2 come \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Fattori in x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata completa.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Calcola

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$