Risolvi x^2-x-7=20

$$x ^ { 2 } - x - 7 = 20$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 1}{2} \approx 5,720153254$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}\approx -4,720153254$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-x-7=20$$

Sottrai 20 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-x-7-20=20-20$$

Sottraendo 20 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-x-7-20=0$$

Sottrai 20 da -7.

$$x^{2}-x-27=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -1 a b e -27 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-27\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -27.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+108}}{2}$$

Aggiungi 1 a 108.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{109}}{2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{109}}{2} quando ± è più. Aggiungi 1 a \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{109}}{2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{109} da 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-7=20$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-x-7-\left(-7\right)=20-\left(-7\right)$$

Sottraendo -7 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-x=20-\left(-7\right)$$

Sottrai -7 da 20.

$$x^{2}-x=27$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=27+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 27 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{109}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{109}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{109}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{109}}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$