Risolvi x^2-x-30=0

$$x ^ { 2 } - x - 30 = 0$$

Trova x

$$x=-5$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-x-30 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-6 b=5$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-30. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-6 b=5$$

Riscrivi x^{2}-x-30 come \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

Fattori in x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-x-30=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -1 a b e -30 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -30.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2}$$

Aggiungi 1 a 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±11}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±11}{2} quando ± è più. Aggiungi 1 a 11.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividi 12 per 2.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±11}{2} quando ± è meno. Sottrai 11 da 1.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Dividi -10 per 2.

$$x=-5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-30=0$$

Aggiungi 30 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Sottraendo -30 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-x=-\left(-30\right)$$

Sottrai -30 da 0.

$$x^{2}-x=30$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 30 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-5$$