Risolvi x^2-x=42

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

Trova x

$$x=-6$$

$$x=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Sottrai 42 da entrambi i lati.

$$x^{2}-x-42=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-x-42 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=-42$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-7 b=6$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 42 da entrambi i lati.

$$x^{2}-x-42=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-42. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-7 b=6$$

Riscrivi x^{2}-x-42 come \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-x=42$$

Sottrai 42 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-x-42=42-42$$

Sottraendo 42 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-x-42=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -1 a b e -42 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -42.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

Aggiungi 1 a 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±13}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±13}{2} quando ± è più. Aggiungi 1 a 13.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividi 14 per 2.

$$x=7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±13}{2} quando ± è meno. Sottrai 13 da 1.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Dividi -12 per 2.

$$x=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=7 x=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x=42$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 42 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=7 x=-6$$