Risolvi x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Trova x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare x^{2}-7x-30 usando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-10 b=3$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-10=0 e x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-30. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-10 b=3$$

Riscrivi x^{2}-7x-30 come \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Fattorizza x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-10 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-10=0 e x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -7 a b e -30 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Aggiungi 49 a 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±13}{2} quando ± è più. Aggiungi 7 a 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Dividi 20 per 2.

$$x=10$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±13}{2} quando ± è meno. Sottrai 13 da 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Dividi -6 per 2.

$$x=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=10 x=-3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Aggiungi 30 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Sottraendo -30 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Sottrai -30 da 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Dividi -7, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Aggiungi 30 a \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Scomponi x^{2}-7x+\frac{49}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Aggiungi \frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=10 x=-3$$