Risolvi x^2-7x-18=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 18 = 0$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x=9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-7x-18 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=-18$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-9 b=2$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x+2=0.

$$x=9 x=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-18. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-9 b=2$$

Riscrivi x^{2}-7x-18 come \left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x+2=0.

$$x=9 x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -7 a b e -18 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-18\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -18.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2}$$

Aggiungi 49 a 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±11}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±11}{2} quando ± è più. Aggiungi 7 a 11.

$$x=\frac{18}{2}$$

Dividi 18 per 2.

$$x=9$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±11}{2} quando ± è meno. Sottrai 11 da 7.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Dividi -4 per 2.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=9 x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Aggiungi 18 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-7x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Sottraendo -18 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-18\right)$$

Sottrai -18 da 0.

$$x^{2}-7x=18$$

Dividi -7, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

Aggiungi 18 a \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}-7x+\frac{49}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

Aggiungi \frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=9 x=-2$$