Risolvi x^2-4x+1=0

$$x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Trova x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -4 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Aggiungi 16 a -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} quando ± è più. Aggiungi 4 a 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Dividi 4+2\sqrt{3} per 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{3} da 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Dividi 4-2\sqrt{3} per 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Aggiungi -1 a 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Fattore x^{2}-4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Semplifica.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$