Risolvi x^2-3x-180=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

Trova x

$$x=-12$$

$$x=15$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare x^{2}-3x-180 usando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=-180$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-15 b=12$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-15=0 e x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-180. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-15 b=12$$

Riscrivi x^{2}-3x-180 come \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

Fattorizza x nel primo e 12 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-15 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-15=0 e x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -3 a b e -180 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Aggiungi 9 a 720.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 729.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±27}{2} quando ± è più. Aggiungi 3 a 27.

$$x=\frac{30}{2}$$

Dividi 30 per 2.

$$x=15$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±27}{2} quando ± è meno. Sottrai 27 da 3.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Dividi -24 per 2.

$$x=-12$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=15 x=-12$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Aggiungi 180 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Sottraendo -180 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

Sottrai -180 da 0.

$$x^{2}-3x=180$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 180 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Scomponi x^{2}-3x+\frac{9}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=15 x=-12$$