Risolvi x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Risolvi per x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -2 con b e -5 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Affinché il prodotto sia negativo, x-\left(\sqrt{6}+1\right) e x-\left(1-\sqrt{6}\right) devono avere segni opposti. Considera il caso in cui x-\left(\sqrt{6}+1\right) è positiva e x-\left(1-\sqrt{6}\right) è negativa.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Falso per qualsiasi x.

$$x\in \emptyset$$

Considera il caso in cui x-\left(1-\sqrt{6}\right) è positiva e x-\left(\sqrt{6}+1\right) è negativa.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$