Risolvi x^2-2sqrt{3}x+8=0

$$x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x + 8 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i\approx 1,732050808+2,236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}\approx 1,732050808-2,236067977i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -2\sqrt{3} a b e 8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

Eleva -2\sqrt{3} al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-4\times 8}}{2}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-32}}{2}$$

Aggiungi 12 a -32.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di -20.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

L'opposto di -2\sqrt{3} è 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2} quando ± è più. Aggiungi 2\sqrt{3} a 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}i}{2}$$

Dividi 2\sqrt{3}+2i\sqrt{5} per 2.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{5} da 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2\sqrt{3}}{2}$$

Dividi 2\sqrt{3}-2i\sqrt{5} per 2.

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

Sottrai 8 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8-8=-8$$

Sottraendo 8 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x=-8$$

Dividi -2\sqrt{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\sqrt{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\sqrt{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}=-8+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Eleva -\sqrt{3} al quadrato.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-8+3$$

Aggiungi -8 a 3.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-5$$

Fattore x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}=-5$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Semplifica.

$$x-\sqrt{3}=\sqrt{5}i x-\sqrt{3}=-\sqrt{5}i$$

Aggiungi \sqrt{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$