Risolvi x^2-18x=-65

$$x ^ { 2 } - 18 x = - 65$$

Trova x

$$x=5$$

$$x=13$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Aggiungi 65 a entrambi i lati.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-18x+65 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-18 ab=65$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

La soluzione è la coppia che restituisce -18 come somma.

$$a=-13 b=-5$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-13=0 e x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 65 a entrambi i lati.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+65. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

La soluzione è la coppia che restituisce -18 come somma.

$$a=-13 b=-5$$

Riscrivi x^{2}-18x+65 come \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

Fattori in x nel primo e -5 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

Fattorizza il termine comune x-13 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-13=0 e x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-18x=-65$$

Aggiungi 65 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=-65-\left(-65\right)$$

Sottraendo -65 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=0$$

Sottrai -65 da 0.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -18 a b e 65 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Eleva -18 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Moltiplica -4 per 65.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

Aggiungi 324 a -260.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

L'opposto di -18 è 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{18±8}{2} quando ± è più. Aggiungi 18 a 8.

$$x=\frac{26}{2}$$

Dividi 26 per 2.

$$x=13$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{18±8}{2} quando ± è meno. Sottrai 8 da 18.

$$x=\frac{10}{2}$$

Dividi 10 per 2.

$$x=5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=13 x=5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-18x=-65$$

Dividi -18, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -9. Quindi aggiungi il quadrato di -9 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

Eleva -9 al quadrato.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

Aggiungi -65 a 81.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Fattore x^{2}-18x+81. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Semplifica.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=13 x=5$$