Risolvi x^2-15x+120=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 120 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2}\approx 7,5+7,984359711i$$

$$x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}\approx 7,5-7,984359711i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-15x+120=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -15 a b e 120 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 120}}{2}$$

Eleva -15 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 120}}{2}$$

Moltiplica -4 per 120.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-480}}{2}$$

Aggiungi 225 a -480.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-255}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di -255.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{255}i}{2}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2} quando ± è più. Aggiungi 15 a i\sqrt{255}.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±\sqrt{255}i}{2} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{255} da 15.

$$x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2} x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+120=0$$

Sottrai 120 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-15x+120-120=-120$$

Sottraendo 120 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-15x=-120$$

Dividi -15, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{15}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-120+\frac{225}{4}$$

Aggiungi -120 a \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{255}{4}$$

Fattore x^{2}-15x+\frac{225}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{255}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{255}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{255}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{255}i}{2}$$

Aggiungi \frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{15+\sqrt{255}i}{2} x=\frac{-\sqrt{255}i+15}{2}$$