Risolvi x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Trova x

$$x=6$$

$$x=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-13x+42 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-13 ab=42$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

La soluzione è la coppia che restituisce -13 come somma.

$$a=-7 b=-6$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+42. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

La soluzione è la coppia che restituisce -13 come somma.

$$a=-7 b=-6$$

Riscrivi x^{2}-13x+42 come \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Fattori in x nel primo e -6 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -13 a b e 42 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Eleva -13 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Moltiplica -4 per 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Aggiungi 169 a -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

L'opposto di -13 è 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{13±1}{2} quando ± è più. Aggiungi 13 a 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividi 14 per 2.

$$x=7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{13±1}{2} quando ± è meno. Sottrai 1 da 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividi 12 per 2.

$$x=6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=7 x=6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Sottrai 42 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Sottraendo 42 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Dividi -13, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{13}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{13}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Aggiungi -42 a \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Fattore x^{2}-13x+\frac{169}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Aggiungi \frac{13}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=7 x=6$$