Risolvi x^2-12x+27=0

$$x ^ { 2 } - 12 x + 27 = 0$$

Trova x

$$x=3$$

$$x=9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-12x+27 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=27$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-9 b=-3$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-9 b=-3$$

Riscrivi x^{2}-12x+27 come \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Fattori in x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -12 a b e 27 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27}}{2}$$

Moltiplica -4 per 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108}}{2}$$

Aggiungi 144 a -108.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6}{2}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±6}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±6}{2} quando ± è più. Aggiungi 12 a 6.

$$x=\frac{18}{2}$$

Dividi 18 per 2.

$$x=9$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±6}{2} quando ± è meno. Sottrai 6 da 12.

$$x=\frac{6}{2}$$

Dividi 6 per 2.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=9 x=3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Sottrai 27 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-12x+27-27=-27$$

Sottraendo 27 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-12x=-27$$

Dividi -12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -6. Quindi aggiungi il quadrato di -6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Eleva -6 al quadrato.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Aggiungi -27 a 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Fattore x^{2}-12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=9 x=3$$