Risolvi x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

Trova x

$$x=4$$

$$x=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-11x+28 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-11 ab=28$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

La soluzione è la coppia che restituisce -11 come somma.

$$a=-7 b=-4$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+28. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

La soluzione è la coppia che restituisce -11 come somma.

$$a=-7 b=-4$$

Riscrivi x^{2}-11x+28 come \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Fattori in x nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -11 a b e 28 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Eleva -11 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Moltiplica -4 per 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Aggiungi 121 a -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

L'opposto di -11 è 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{11±3}{2} quando ± è più. Aggiungi 11 a 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividi 14 per 2.

$$x=7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{11±3}{2} quando ± è meno. Sottrai 3 da 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Dividi 8 per 2.

$$x=4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=7 x=4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Sottrai 28 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

Sottraendo 28 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-11x=-28$$

Dividi -11, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Aggiungi -28 a \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore x^{2}-11x+\frac{121}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{11}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=7 x=4$$