Risolvi x^2-10x-23=0

$$x ^ { 2 } - 10 x - 23 = 0$$

Trova x

$$x=4\sqrt{3}+5\approx 11,92820323$$

$$x=5-4\sqrt{3}\approx -1,92820323$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-10x-23=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -10 a b e -23 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-23\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -23.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+92}}{2}$$

Aggiungi 100 a 92.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{192}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 192.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±8\sqrt{3}}{2}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2} quando ± è più. Aggiungi 10 a 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}+10}{2}$$

Dividi 10+8\sqrt{3} per 2.

$$x=4\sqrt{3}+5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2} quando ± è meno. Sottrai 8\sqrt{3} da 10.

$$x=\frac{10-8\sqrt{3}}{2}$$

Dividi 10-8\sqrt{3} per 2.

$$x=5-4\sqrt{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4\sqrt{3}+5 x=5-4\sqrt{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x-23=0$$

Aggiungi 23 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-10x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Sottraendo -23 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-10x=-\left(-23\right)$$

Sottrai -23 da 0.

$$x^{2}-10x=23$$

Dividi -10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -5. Quindi aggiungi il quadrato di -5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=23+\left(-5\right)^{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x^{2}-10x+25=23+25$$

Aggiungi 23 a 25.

$$x^{2}-10x+25=48$$

Fattore x^{2}-10x+25. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=48$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{48}$$

Semplifica.

$$x-5=4\sqrt{3} x-5=-4\sqrt{3}$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4\sqrt{3}+5 x=5-4\sqrt{3}$$