Risolvi x^2+7x+12=0

$$x ^ { 2 } + 7 x + 12 = 0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=-3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare x^{2}+7x+12 usando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=3 b=4$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x+3=0 e x+4=0.

$$x=-3 x=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=1\times 12=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=3 b=4$$

Riscrivi x^{2}+7x+12 come \left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right)$$

Fattorizza x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+3\right)+4\left(x+3\right)$$

Fattorizzare il termine comune x+3 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x+3=0 e x+4=0.

$$x=-3 x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 7 a b e 12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 12}}{2}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 12}}{2}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2}$$

Aggiungi 49 a -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-7±1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±1}{2} quando ± è più. Aggiungi -7 a 1.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Dividi -6 per 2.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±1}{2} quando ± è meno. Sottrai 1 da -7.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+7x+12-12=-12$$

Sottraendo 12 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+7x=-12$$

Dividi 7, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-12+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-12+\frac{49}{4}$$

Aggiungi -12 a \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{1}{4}$$

Scomponi x^{2}+7x+\frac{49}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}$$

Sottrai \frac{7}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3 x=-4$$