Risolvi x^2+5x-24=0

$$x ^ { 2 } + 5 x - 24 = 0$$

Trova x

$$x=-8$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+5x-24 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-3 b=8$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-3\right)\left(x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-3 b=8$$

Riscrivi x^{2}+5x-24 come \left(x^{2}-3x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(8x-24\right)$$

Fattori in x nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+5x-24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 5 a b e -24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

Aggiungi 25 a 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-5±11}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±11}{2} quando ± è più. Aggiungi -5 a 11.

$$x=\frac{6}{2}$$

Dividi 6 per 2.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±11}{2} quando ± è meno. Sottrai 11 da -5.

$$x=-\frac{16}{2}$$

Dividi -16 per 2.

$$x=-8$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=-8$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x-24=0$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+5x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Sottraendo -24 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+5x=-\left(-24\right)$$

Sottrai -24 da 0.

$$x^{2}+5x=24$$

Dividi 5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Aggiungi 24 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}+5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Sottrai \frac{5}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-8$$