Risolvi x^2+4x-45=0

$$x ^ { 2 } + 4 x - 45 = 0$$

Trova x

$$x=-9$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+4x-45 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=-45$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=-5 b=9$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-45. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=1\left(-45\right)=-45$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=-5 b=9$$

Riscrivi x^{2}+4x-45 come \left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right)$$

Fattori in x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-5\right)+9\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 4 a b e -45 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-45\right)}}{2}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-45\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -45.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2}$$

Aggiungi 16 a 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-4±14}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±14}{2} quando ± è più. Aggiungi -4 a 14.

$$x=\frac{10}{2}$$

Dividi 10 per 2.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±14}{2} quando ± è meno. Sottrai 14 da -4.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Dividi -18 per 2.

$$x=-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=-9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Aggiungi 45 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+4x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Sottraendo -45 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-45\right)$$

Sottrai -45 da 0.

$$x^{2}+4x=45$$

Dividi 4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 2. Quindi aggiungi il quadrato di 2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+4x+2^{2}=45+2^{2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x^{2}+4x+4=45+4$$

Aggiungi 45 a 4.

$$x^{2}+4x+4=49$$

Fattore x^{2}+4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=49$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Semplifica.

$$x+2=7 x+2=-7$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-9$$