Risolvi x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Trova x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare x^{2}+34x-71000 usando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

La soluzione è la coppia che restituisce 34 come somma.

$$a=-250 b=284$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-250=0 e x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-71000. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

La soluzione è la coppia che restituisce 34 come somma.

$$a=-250 b=284$$

Riscrivi x^{2}+34x-71000 come \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Fattorizza x nel primo e 284 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-250 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-250=0 e x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 34 a b e -71000 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Eleva 34 al quadrato.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Aggiungi 1156 a 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-34±534}{2} quando ± è più. Aggiungi -34 a 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Dividi 500 per 2.

$$x=250$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-34±534}{2} quando ± è meno. Sottrai 534 da -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Dividi -568 per 2.

$$x=-284$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=250 x=-284$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Aggiungi 71000 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Sottraendo -71000 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Sottrai -71000 da 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Dividi 34, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 17. Quindi aggiungi il quadrato di 17 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Eleva 17 al quadrato.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Aggiungi 71000 a 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Scomponi x^{2}+34x+289 in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Semplifica.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Sottrai 17 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=250 x=-284$$