Risolvi x^2+30x-18000=0

$$x ^ { 2 } + 30 x - 18000 = 0$$

Trova x

$$x=-150$$

$$x=120$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare x^{2}+30x-18000 usando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=30 ab=-18000$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18000.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

La soluzione è la coppia che restituisce 30 come somma.

$$a=-120 b=150$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-120=0 e x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-18000. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=30 ab=1\left(-18000\right)=-18000$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18000.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

La soluzione è la coppia che restituisce 30 come somma.

$$a=-120 b=150$$

Riscrivi x^{2}+30x-18000 come \left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right).

$$\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)$$

Fattorizza x nel primo e 150 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-120\right)+150\left(x-120\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-120 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-120=0 e x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 30 a b e -18000 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Eleva 30 al quadrato.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -18000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+72000}}{2}$$

Aggiungi 900 a 72000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{72900}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 72900.

$$x=\frac{-30±270}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-30±270}{2} quando ± è più. Aggiungi -30 a 270.

$$x=\frac{240}{2}$$

Dividi 240 per 2.

$$x=120$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-30±270}{2} quando ± è meno. Sottrai 270 da -30.

$$x=-\frac{300}{2}$$

Dividi -300 per 2.

$$x=-150$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=120 x=-150$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Aggiungi 18000 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+30x-18000-\left(-18000\right)=-\left(-18000\right)$$

Sottraendo -18000 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+30x=-\left(-18000\right)$$

Sottrai -18000 da 0.

$$x^{2}+30x=18000$$

Dividi 30, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 15. Quindi aggiungi il quadrato di 15 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+30x+15^{2}=18000+15^{2}$$

Eleva 15 al quadrato.

$$x^{2}+30x+225=18000+225$$

Aggiungi 18000 a 225.

$$x^{2}+30x+225=18225$$

Scomponi x^{2}+30x+225 in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+15\right)^{2}=18225$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{18225}$$

Semplifica.

$$x+15=135 x+15=-135$$

Sottrai 15 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=120 x=-150$$