Risolvi x^2+3x-11=0

$$x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{53} - 3}{2} \approx 2,140054945$$

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}\approx -5,140054945$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 3 a b e -11 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2}$$

Aggiungi 9 a 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2} quando ± è più. Aggiungi -3 a \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{53} da -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Aggiungi 11 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Sottraendo -11 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

Sottrai -11 da 0.

$$x^{2}+3x=11$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 11 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Fattore x^{2}+3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$