Risolvi x^2+25x=-84

$$x ^ { 2 } + 25 x = - 84$$

Trova x

$$x=-21$$

$$x=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Aggiungi 84 a entrambi i lati.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+25x+84 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=25 ab=84$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

La soluzione è la coppia che restituisce 25 come somma.

$$a=4 b=21$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+4=0 e x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 84 a entrambi i lati.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+84. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=25 ab=1\times 84=84$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

La soluzione è la coppia che restituisce 25 come somma.

$$a=4 b=21$$

Riscrivi x^{2}+25x+84 come \left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right)$$

Fattori in x nel primo e 21 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+4\right)+21\left(x+4\right)$$

Fattorizza il termine comune x+4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+4=0 e x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+25x=-84$$

Aggiungi 84 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=-84-\left(-84\right)$$

Sottraendo -84 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=0$$

Sottrai -84 da 0.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 25 a b e 84 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 84}}{2}$$

Eleva 25 al quadrato.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 84}}{2}$$

Moltiplica -4 per 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-336}}{2}$$

Aggiungi 625 a -336.

$$x=\frac{-25±\sqrt{289}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$x=\frac{-25±17}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-25±17}{2} quando ± è più. Aggiungi -25 a 17.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$x=-4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-25±17}{2} quando ± è meno. Sottrai 17 da -25.

$$x=-\frac{42}{2}$$

Dividi -42 per 2.

$$x=-21$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-4 x=-21$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x=-84$$

Dividi 25, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{25}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{25}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-84+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{25}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-84+\frac{625}{4}$$

Aggiungi -84 a \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{289}{4}$$

Fattore x^{2}+25x+\frac{625}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{17}{2}$$

Sottrai \frac{25}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-4 x=-21$$