Risolvi x^2+20x=-75

$$x ^ { 2 } + 20 x = - 75$$

Trova x

$$x=-15$$

$$x=-5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Aggiungi 75 a entrambi i lati.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+20x+75 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=20 ab=75$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

La soluzione è la coppia che restituisce 20 come somma.

$$a=5 b=15$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+5=0 e x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 75 a entrambi i lati.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+75. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

La soluzione è la coppia che restituisce 20 come somma.

$$a=5 b=15$$

Riscrivi x^{2}+20x+75 come \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

Fattori in x nel primo e 15 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

Fattorizza il termine comune x+5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+5=0 e x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+20x=-75$$

Aggiungi 75 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=-75-\left(-75\right)$$

Sottraendo -75 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=0$$

Sottrai -75 da 0.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 20 a b e 75 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

Eleva 20 al quadrato.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

Moltiplica -4 per 75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

Aggiungi 400 a -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±10}{2} quando ± è più. Aggiungi -20 a 10.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Dividi -10 per 2.

$$x=-5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±10}{2} quando ± è meno. Sottrai 10 da -20.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Dividi -30 per 2.

$$x=-15$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-5 x=-15$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x=-75$$

Dividi 20, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 10. Quindi aggiungi il quadrato di 10 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

Aggiungi -75 a 100.

$$x^{2}+20x+100=25$$

Fattore x^{2}+20x+100. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Semplifica.

$$x+10=5 x+10=-5$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-5 x=-15$$