Risolvi x^2+14x+45=0

$$x ^ { 2 } + 14 x + 45 = 0$$

Trova x

$$x=-9$$

$$x=-5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+14x+45 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=45$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=5 b=9$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+5=0 e x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+45. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=1\times 45=45$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=5 b=9$$

Riscrivi x^{2}+14x+45 come \left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right)$$

Fattori in x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+5\right)+9\left(x+5\right)$$

Fattorizza il termine comune x+5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+5=0 e x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 14 a b e 45 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 45}}{2}$$

Eleva 14 al quadrato.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 45}}{2}$$

Moltiplica -4 per 45.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-180}}{2}$$

Aggiungi 196 a -180.

$$x=\frac{-14±\sqrt{16}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-14±4}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±4}{2} quando ± è più. Aggiungi -14 a 4.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Dividi -10 per 2.

$$x=-5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±4}{2} quando ± è meno. Sottrai 4 da -14.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Dividi -18 per 2.

$$x=-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-5 x=-9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Sottrai 45 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+14x+45-45=-45$$

Sottraendo 45 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+14x=-45$$

Dividi 14, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 7. Quindi aggiungi il quadrato di 7 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-45+7^{2}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x^{2}+14x+49=-45+49$$

Aggiungi -45 a 49.

$$x^{2}+14x+49=4$$

Fattore x^{2}+14x+49. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x+7=2 x+7=-2$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-5 x=-9$$