Risolvi x^2+12x+32=0

$$x ^ { 2 } + 12 x + 32 = 0$$

Trova x

$$x=-8$$

$$x=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+12x+32 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=32$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 32.

$$1,32 2,16 4,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+32=33 2+16=18 4+8=12$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=4 b=8$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x+4\right)\left(x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+4=0 e x+8=0.

$$x=-4 x=-8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+32. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=1\times 32=32$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 32.

$$1,32 2,16 4,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+32=33 2+16=18 4+8=12$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=4 b=8$$

Riscrivi x^{2}+12x+32 come \left(x^{2}+4x\right)+\left(8x+32\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(8x+32\right)$$

Fattori in x nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+4\right)+8\left(x+4\right)$$

Fattorizza il termine comune x+4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+4\right)\left(x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+4=0 e x+8=0.

$$x=-4 x=-8$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+12x+32=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 12 a b e 32 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 32}}{2}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 32}}{2}$$

Moltiplica -4 per 32.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-128}}{2}$$

Aggiungi 144 a -128.

$$x=\frac{-12±\sqrt{16}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-12±4}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±4}{2} quando ± è più. Aggiungi -12 a 4.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$x=-4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±4}{2} quando ± è meno. Sottrai 4 da -12.

$$x=-\frac{16}{2}$$

Dividi -16 per 2.

$$x=-8$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-4 x=-8$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x+32=0$$

Sottrai 32 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+12x+32-32=-32$$

Sottraendo 32 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+12x=-32$$

Dividi 12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 6. Quindi aggiungi il quadrato di 6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-32+6^{2}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x^{2}+12x+36=-32+36$$

Aggiungi -32 a 36.

$$x^{2}+12x+36=4$$

Fattore x^{2}+12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x+6=2 x+6=-2$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-4 x=-8$$