Risolvi x^2+12x+27=0

$$x ^ { 2 } + 12 x + 27 = 0$$

Trova x

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+12x+27 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=27$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 27.

$$1,27 3,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+27=28 3+9=12$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=3 b=9$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+3=0 e x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 27.

$$1,27 3,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+27=28 3+9=12$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=3 b=9$$

Riscrivi x^{2}+12x+27 come \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

Fattori in x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+3=0 e x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 12 a b e 27 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 27}}{2}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 27}}{2}$$

Moltiplica -4 per 27.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2}$$

Aggiungi 144 a -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-12±6}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±6}{2} quando ± è più. Aggiungi -12 a 6.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Dividi -6 per 2.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±6}{2} quando ± è meno. Sottrai 6 da -12.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Dividi -18 per 2.

$$x=-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=-9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Sottrai 27 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+12x+27-27=-27$$

Sottraendo 27 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+12x=-27$$

Dividi 12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 6. Quindi aggiungi il quadrato di 6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Aggiungi -27 a 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Fattore x^{2}+12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x+6=3 x+6=-3$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3 x=-9$$