Risolvi x^2+(x-2)^2=100

$$x ^ { 2 } + ( x - 2 ) ^ { 2 } = 100$$

Trova x

$$x=-6$$

$$x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Sottrai 100 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Sottrai 100 da 4 per ottenere -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}-2x-48=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-48. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -2 come somma.

$$a=-8 b=6$$

Riscrivi x^{2}-2x-48 come \left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-8\right)+6\left(x-8\right)$$

Fattorizza il termine comune x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-8=0 e x+6=0.

$$x=8 x=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Sottrai 100 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Sottrai 100 da 4 per ottenere -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -4 a b e -96 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

Aggiungi 16 a 768.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 784.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±28}{2\times 2}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±28}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{4±28}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±28}{4} quando ± è più. Aggiungi 4 a 28.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividi 32 per 4.

$$x=8$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±28}{4} quando ± è meno. Sottrai 28 da 4.

$$x=-\frac{24}{4}$$

Dividi -24 per 4.

$$x=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=8 x=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-4x=100-4$$

Sottrai 4 da 100 per ottenere 96.

$$2x^{2}-4x=96$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{96}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{96}{2}$$

Dividi -4 per 2.

$$x^{2}-2x=\frac{96}{2}$$

Dividi 96 per 2.

$$x^{2}-2x=48$$

Dividi -2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -1. Quindi aggiungi il quadrato di -1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-2x+1=48+1$$

Aggiungi 48 a 1.

$$x^{2}-2x+1=49$$

Fattore x^{2}-2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=49$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Semplifica.

$$x-1=7 x-1=-7$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=-6$$