Risolvi x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 2 e 1 per ottenere 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combina x^{2} e 4x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

E 10 e 1 per ottenere 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Eleva x^{2}-2x-3 al quadrato.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combina 2x e 12x per ottenere 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

E 11 e 9 per ottenere 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Sottrai 20 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combina 5x^{2} e x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Sottrai 14x da entrambi i lati.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Sottrai x^{4} da entrambi i lati.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Combina x^{4} e -x^{4} per ottenere 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Aggiungi 4x^{3} a entrambi i lati.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Combina -4x^{3} e 4x^{3} per ottenere 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-10 b=3$$

Riscrivi 3x^{2}-7x-10 come \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Scomponi x in 3x^{2}-10x.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Fattorizza il termine comune 3x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-10=0 e x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 2 e 1 per ottenere 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combina x^{2} e 4x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

E 10 e 1 per ottenere 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Eleva x^{2}-2x-3 al quadrato.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combina 2x e 12x per ottenere 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

E 11 e 9 per ottenere 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Sottrai 20 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combina 5x^{2} e x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Sottrai 14x da entrambi i lati.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Sottrai x^{4} da entrambi i lati.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Combina x^{4} e -x^{4} per ottenere 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Aggiungi 4x^{3} a entrambi i lati.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Combina -4x^{3} e 4x^{3} per ottenere 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, -14 a b e -20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Aggiungi 196 a 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±26}{12} quando ± è più. Aggiungi 14 a 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Riduci la frazione \frac{40}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{10}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±26}{12} quando ± è meno. Sottrai 26 da 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Dividi -12 per 12.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 2 e 1 per ottenere 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Combina x^{2} e 4x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

E 10 e 1 per ottenere 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Eleva x^{2}-2x-3 al quadrato.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Combina 2x e 12x per ottenere 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

E 11 e 9 per ottenere 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Combina 5x^{2} e x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Sottrai 14x da entrambi i lati.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Sottrai x^{4} da entrambi i lati.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Combina x^{4} e -x^{4} per ottenere 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Aggiungi 4x^{3} a entrambi i lati.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Combina -4x^{3} e 4x^{3} per ottenere 0.

$$6x^{2}-14x=20$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Riduci la frazione \frac{20}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Dividi -\frac{7}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Aggiungi \frac{10}{3} a \frac{49}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Aggiungi \frac{7}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$