Risolvi x^2+(x+3/2)^2-8x-2(x+3/2)+7=0

$$x ^ { 2 } + ( \frac { x + 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 8 x - 2 ( \frac { x + 3 } { 2 } ) + 7 = 0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Per elevare \frac{x+3}{2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica x^{2}-8x per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Poiché \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Unisci i termini come in 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Esprimi 2\times \frac{x+3}{2} come singola frazione.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Cancella 2 e 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Per trovare l'opposto di x+3, trova l'opposto di ogni termine.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica -x-3 per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Poiché \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} e \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Esegui le moltiplicazioni in 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Unisci i termini come in 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Esprimi 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} come singola frazione.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Cancella 2 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Dividi ogni termine di 5x^{2}-30x-3 per 2 per ottenere \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

E -\frac{3}{2} e 14 per ottenere \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci \frac{5}{2} a a, -15 a b e \frac{25}{2} a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Eleva -15 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Moltiplica -4 per \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-10\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Moltiplica -10 per \frac{25}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-125}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Aggiungi 225 a -125.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{100}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$x=\frac{15±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Moltiplica 2 per \frac{5}{2}.

$$x=\frac{15±10}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±10}{5} quando ± è più. Aggiungi 15 a 10.

$$x=\frac{25}{5}$$

Dividi 25 per 5.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±10}{5} quando ± è meno. Sottrai 10 da 15.

$$x=\frac{5}{5}$$

Dividi 5 per 5.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Per elevare \frac{x+3}{2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica x^{2}-8x per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Poiché \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Unisci i termini come in 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Esprimi 2\times \frac{x+3}{2} come singola frazione.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Cancella 2 e 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Per trovare l'opposto di x+3, trova l'opposto di ogni termine.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica -x-3 per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Poiché \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} e \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Esegui le moltiplicazioni in 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Unisci i termini come in 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Esprimi 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} come singola frazione.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Cancella 2 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Dividi ogni termine di 5x^{2}-30x-3 per 2 per ottenere \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

E -\frac{3}{2} e 14 per ottenere \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Sottrai \frac{25}{2} da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x=-\frac{25}{2}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{5}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}-15x}{\frac{5}{2}}=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

La divisione per \frac{5}{2} annulla la moltiplicazione per \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{\frac{5}{2}}\right)x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Dividi -15 per\frac{5}{2} moltiplicando -15 per il reciproco di \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Dividi -\frac{25}{2} per\frac{5}{2} moltiplicando -\frac{25}{2} per il reciproco di \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-5$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Aggiungi -5 a 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Fattore x^{2}-6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=1$$