Risolvi x^2+sqrt{6}x+5=0

$$x ^ { 2 } + \sqrt { 6 } x + 5 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}\approx -1,224744871+1,870828693i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}\approx -1,224744871-1,870828693i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, \sqrt{6} a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Eleva \sqrt{6} al quadrato.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-4\times 5}}{2}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-20}}{2}$$

Aggiungi 6 a -20.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{-14}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di -14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} quando ± è più. Aggiungi -\sqrt{6} a i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{14} da -\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+\sqrt{6}x=-5$$

Dividi \sqrt{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{\sqrt{6}}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{\sqrt{6}}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{\sqrt{6}}{2} al quadrato.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-5+\frac{3}{2}$$

Aggiungi -5 a \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Scomponi x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{2}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{14}i}{2} x+\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{14}i}{2}$$

Sottrai \frac{\sqrt{6}}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$