Risolvi x^-2+8x^-1+15=0

$$x ^ { - 2 } + 8 x ^ { - 1 } + 15 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Riordina i termini.

$$15+8\times \frac{1}{x}+x^{-2}=0$$

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x.

$$x\times 15+8\times 1+xx^{-2}=0$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e -2 per ottenere -1.

$$x\times 15+8\times 1+x^{-1}=0$$

Moltiplica 8 e 1 per ottenere 8.

$$x\times 15+8+x^{-1}=0$$

Riordina i termini.

$$15x+8+\frac{1}{x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x.

$$15xx+x\times 8+1=0$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$15x^{2}+x\times 8+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 15x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 15.

$$1,15 3,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+15=16 3+5=8$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$a=3 b=5$$

Riscrivi 15x^{2}+8x+1 come \left(15x^{2}+3x\right)+\left(5x+1\right).

$$\left(15x^{2}+3x\right)+\left(5x+1\right)$$

Scomponi 3x in 15x^{2}+3x.

$$3x\left(5x+1\right)+5x+1$$

Fattorizza il termine comune 5x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x+1=0 e 3x+1=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Riordina i termini.

$$15+8\times \frac{1}{x}+x^{-2}=0$$

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x.

$$x\times 15+8\times 1+xx^{-2}=0$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e -2 per ottenere -1.

$$x\times 15+8\times 1+x^{-1}=0$$

Moltiplica 8 e 1 per ottenere 8.

$$x\times 15+8+x^{-1}=0$$

Riordina i termini.

$$15x+8+\frac{1}{x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x.

$$15xx+x\times 8+1=0$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$15x^{2}+x\times 8+1=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$15x^{2}+8x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 15 a a, 8 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Eleva 8 al quadrato.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Moltiplica -4 per 15.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Aggiungi 64 a -60.

$$x=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Moltiplica 2 per 15.

$$x=\frac{-8±2}{30}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8±2}{30} quando ± è più. Aggiungi -8 a 2.

$$x=-\frac{6}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8±2}{30} quando ± è meno. Sottrai 2 da -8.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 15 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$x^{-2}+8x^{-1}=-15$$

Riordina i termini.

$$8\times \frac{1}{x}+x^{-2}=-15$$

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x.

$$8\times 1+xx^{-2}=-15x$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e -2 per ottenere -1.

$$8\times 1+x^{-1}=-15x$$

Moltiplica 8 e 1 per ottenere 8.

$$8+x^{-1}=-15x$$

Aggiungi 15x a entrambi i lati.

$$8+x^{-1}+15x=0$$

Sottrai 8 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$x^{-1}+15x=-8$$

Riordina i termini.

$$15x+\frac{1}{x}=-8$$

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x.

$$15xx+1=-8x$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$15x^{2}+1=-8x$$

Aggiungi 8x a entrambi i lati.

$$15x^{2}+1+8x=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$15x^{2}+8x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 15.

$$\frac{15x^{2}+8x}{15}=-\frac{1}{15}$$

La divisione per 15 annulla la moltiplicazione per 15.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x=-\frac{1}{15}$$

Dividi \frac{8}{15}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{4}{15}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{4}{15} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Eleva \frac{4}{15} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Aggiungi -\frac{1}{15} a \frac{16}{225} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Fattore x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} x+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Sottrai \frac{4}{15} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{1}{3}$$