Risolvi x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Trova x,.y

$$x=3$$

$$y=1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+3y=6$$

Sottrai 3y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3y+6$$

Sostituisci -3y+6 a x nell'altra equazione 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Moltiplica 5 per -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Aggiungi -15y a -2y.

$$-17y+30=13$$

Sottrai 30 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-17y=-17$$

Dividi entrambi i lati per -17.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in x=-3y+6. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-3+6$$

Aggiungi 6 a -3.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=3,y=1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Per rendere x e 5x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 5 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Semplifica.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Sottrai 5x-2y=13 a 5x+15y=30 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Aggiungi 5x a -5x. I termini 5x e -5x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$15y+2y=30-13$$

Aggiungi 15y a 2y.

$$17y=30-13$$

Aggiungi 30 a -13.

$$17y=17$$

Dividi entrambi i lati per 17.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in 5x-2y=13. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$5x-2=13$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x=15$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=1$$