Risolvi x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Trova x,.y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+2y=-1$$

Sottrai 2y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-2y-1$$

Sostituisci -2y-1 a x nell'altra equazione 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Moltiplica 2 per -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Aggiungi -4y a -3y.

$$-7y-2=12$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-7y=14$$

Dividi entrambi i lati per -7.

$$y=-2$$

Sostituisci -2 a y in x=-2y-1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Moltiplica -2 per -2.

$$x=4-1$$

Aggiungi -1 a 4.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=-2$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=3,y=-2$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Per rendere x e 2x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Semplifica.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Sottrai 2x-3y=12 a 2x+4y=-2 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Aggiungi 2x a -2x. I termini 2x e -2x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4y+3y=-2-12$$

Aggiungi 4y a 3y.

$$7y=-2-12$$

Aggiungi -2 a -12.

$$7y=-14$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$y=-2$$

Sostituisci -2 a y in 2x-3y=12. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Moltiplica -3 per -2.

$$2x+6=12$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=6$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=-2$$