Risolvi x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6, il minimo comune multiplo di 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x e 9x per ottenere 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -2 per x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x e -2x per ottenere 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

E 3 e 4 per ottenere 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

E 7 e 12 per ottenere 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -6x^{2}+ax+bx+19. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

La soluzione è la coppia che restituisce 13 come somma.

$$a=19 b=-6$$

Riscrivi -6x^{2}+13x+19 come \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Fattorizza -x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Fattorizzare il termine comune 6x-19 usando la proprietà distributiva.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 6x-19=0 e -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6, il minimo comune multiplo di 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x e 9x per ottenere 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -2 per x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x e -2x per ottenere 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

E 3 e 4 per ottenere 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

E 7 e 12 per ottenere 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -6 a a, 13 a b e 19 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Eleva 13 al quadrato.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica -4 per -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica 24 per 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Aggiungi 169 a 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica 2 per -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±25}{-12} quando ± è più. Aggiungi -13 a 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Dividi 12 per -12.

$$x=-1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±25}{-12} quando ± è meno. Sottrai 25 da -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Riduci la frazione \frac{-38}{-12} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6, il minimo comune multiplo di 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x e 9x per ottenere 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -2 per x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x e -2x per ottenere 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

E 3 e 4 per ottenere 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Sottrai 7 da entrambi i lati.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Sottrai 7 da -12 per ottenere -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Dividi entrambi i lati per -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

La divisione per -6 annulla la moltiplicazione per -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Dividi 13 per -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Dividi -19 per -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Dividi -\frac{13}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{13}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{13}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Aggiungi \frac{19}{6} a \frac{169}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Scomponi x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Aggiungi \frac{13}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$