Risolvi t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Trova t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore t^{2}-24t-180 utilizzando la formula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -24 come somma.

$$a=-30 b=6$$

Riscrivi scomposte espressione \left(t+a\right)\left(t+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-30=0 e t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come t^{2}+at+bt-180. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -24 come somma.

$$a=-30 b=6$$

Riscrivi t^{2}-24t-180 come \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Fattori in t nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Fattorizza il termine comune t-30 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-30=0 e t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -24 a b e -180 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Eleva -24 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Aggiungi 576 a 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

L'opposto di -24 è 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{24±36}{2} quando ± è più. Aggiungi 24 a 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Dividi 60 per 2.

$$t=30$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{24±36}{2} quando ± è meno. Sottrai 36 da 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Dividi -12 per 2.

$$t=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=30 t=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Aggiungi 180 a entrambi i lati dell'equazione.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Sottraendo -180 da se stesso rimane 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Sottrai -180 da 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Dividi -24, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -12. Quindi aggiungi il quadrato di -12 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Aggiungi 180 a 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Fattore t^{2}-24t+144. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Semplifica.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=30 t=-6$$