Risolvi r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Trova r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -22 a b e -7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Eleva -22 al quadrato.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Aggiungi 484 a 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

L'opposto di -22 è 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} quando ± è più. Aggiungi 22 a 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Dividi 22+16\sqrt{2} per 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} quando ± è meno. Sottrai 16\sqrt{2} da 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Dividi 22-16\sqrt{2} per 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Sottraendo -7 da se stesso rimane 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Sottrai -7 da 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Dividi -22, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -11. Quindi aggiungi il quadrato di -11 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Eleva -11 al quadrato.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Aggiungi 7 a 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Fattore r^{2}-22r+121. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Semplifica.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Aggiungi 11 a entrambi i lati dell'equazione.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$