Risolvi n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Trova n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore n^{2}-n-210 utilizzando la formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-15 b=14$$

Riscrivi scomposte espressione \left(n+a\right)\left(n+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-15=0 e n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come n^{2}+an+bn-210. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-15 b=14$$

Riscrivi n^{2}-n-210 come \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Fattori in n nel primo e 14 nel secondo gruppo.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Fattorizza il termine comune n-15 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-15=0 e n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n^{2}-n-210=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -1 a b e -210 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Aggiungi 1 a 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{1±29}{2} quando ± è più. Aggiungi 1 a 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Dividi 30 per 2.

$$n=15$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{1±29}{2} quando ± è meno. Sottrai 29 da 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Dividi -28 per 2.

$$n=-14$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=15 n=-14$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Aggiungi 210 a entrambi i lati dell'equazione.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Sottraendo -210 da se stesso rimane 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Sottrai -210 da 0.

$$n^{2}-n=210$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 210 a \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Fattore n^{2}-n+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Semplifica.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=15 n=-14$$