Risolvi n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Risolvi per n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Calcola 2009 alla potenza di 2 e ottieni 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -4019 con b e 4036081 con c nella formula quadratica.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Risolvi l'equazione n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Affinché il prodotto sia ≤0, uno dei valori n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} deve essere ≥0 e l'altro ≤0. Considerare il caso di n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Falso per qualsiasi n.

$$n\in \emptyset$$

Considerare il caso di n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$