Risolvi n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Trova n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore n^{2}-11n-60 utilizzando la formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -11 come somma.

$$a=-15 b=4$$

Riscrivi scomposte espressione \left(n+a\right)\left(n+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-15=0 e n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come n^{2}+an+bn-60. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -11 come somma.

$$a=-15 b=4$$

Riscrivi n^{2}-11n-60 come \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Fattori in n nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Fattorizza il termine comune n-15 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-15=0 e n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -11 a b e -60 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Eleva -11 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Aggiungi 121 a 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

L'opposto di -11 è 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{11±19}{2} quando ± è più. Aggiungi 11 a 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Dividi 30 per 2.

$$n=15$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{11±19}{2} quando ± è meno. Sottrai 19 da 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$n=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=15 n=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Aggiungi 60 a entrambi i lati dell'equazione.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Sottraendo -60 da se stesso rimane 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Sottrai -60 da 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Dividi -11, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Aggiungi 60 a \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Fattore n^{2}-11n+\frac{121}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Semplifica.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Aggiungi \frac{11}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=15 n=-4$$