Risolvi n^2+n-102=0

$$n ^ { 2 } + n - 102 = 0$$

Trova n

$$n = \frac{\sqrt{409} - 1}{2} \approx 9,611874208$$

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}\approx -10,611874208$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n^{2}+n-102=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 1 a b e -102 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-102\right)}}{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-102\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -102.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+408}}{2}$$

Aggiungi 1 a 408.

$$n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} quando ± è più. Aggiungi -1 a \sqrt{409}.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{409} da -1.

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-102=0$$

Aggiungi 102 a entrambi i lati dell'equazione.

$$n^{2}+n-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

Sottraendo -102 da se stesso rimane 0.

$$n^{2}+n=-\left(-102\right)$$

Sottrai -102 da 0.

$$n^{2}+n=102$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=102+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=102+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 102 a \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{409}{4}$$

Fattore n^{2}+n+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Semplifica.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$