Risolvi n^2+n=420

$$n ^ { 2 } + n = 420$$

Trova n

$$n=-21$$

$$n=20$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Sottrai 420 da entrambi i lati.

$$n^{2}+n-420=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore n^{2}+n-420 utilizzando la formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=-420$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -420.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-20 b=21$$

Riscrivi scomposte espressione \left(n+a\right)\left(n+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(n-20\right)\left(n+21\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-20=0 e n+21=0.

$$n=20 n=-21$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 420 da entrambi i lati.

$$n^{2}+n-420=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come n^{2}+an+bn-420. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-420\right)=-420$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -420.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-20 b=21$$

Riscrivi n^{2}+n-420 come \left(n^{2}-20n\right)+\left(21n-420\right).

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(21n-420\right)$$

Fattori in n nel primo e 21 nel secondo gruppo.

$$n\left(n-20\right)+21\left(n-20\right)$$

Fattorizza il termine comune n-20 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n-20\right)\left(n+21\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-20=0 e n+21=0.

$$n=20 n=-21$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n^{2}+n=420$$

Sottrai 420 da entrambi i lati dell'equazione.

$$n^{2}+n-420=420-420$$

Sottraendo 420 da se stesso rimane 0.

$$n^{2}+n-420=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 1 a b e -420 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-420\right)}}{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-420\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -420.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+1680}}{2}$$

Aggiungi 1 a 1680.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1681}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1681.

$$n=\frac{-1±41}{2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-1±41}{2} quando ± è più. Aggiungi -1 a 41.

$$n=\frac{40}{2}$$

Dividi 40 per 2.

$$n=20$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-1±41}{2} quando ± è meno. Sottrai 41 da -1.

$$n=-\frac{42}{2}$$

Dividi -42 per 2.

$$n=-21$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=20 n=-21$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n=420$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=420+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=420+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 420 a \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1681}{4}$$

Fattore n^{2}+n+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1681}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{4}}$$

Semplifica.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{41}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{41}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$n=20 n=-21$$