Risolvi n^2+17n+72=0

$$n ^ { 2 } + 17 n + 72 = 0$$

Trova n

$$n=-9$$

$$n=-8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore n^{2}+17n+72 utilizzando la formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=17 ab=72$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 72.

$$1,72 2,36 3,24 4,18 6,12 8,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+72=73 2+36=38 3+24=27 4+18=22 6+12=18 8+9=17$$

La soluzione è la coppia che restituisce 17 come somma.

$$a=8 b=9$$

Riscrivi scomposte espressione \left(n+a\right)\left(n+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(n+8\right)\left(n+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n+8=0 e n+9=0.

$$n=-8 n=-9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come n^{2}+an+bn+72. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=17 ab=1\times 72=72$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 72.

$$1,72 2,36 3,24 4,18 6,12 8,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+72=73 2+36=38 3+24=27 4+18=22 6+12=18 8+9=17$$

La soluzione è la coppia che restituisce 17 come somma.

$$a=8 b=9$$

Riscrivi n^{2}+17n+72 come \left(n^{2}+8n\right)+\left(9n+72\right).

$$\left(n^{2}+8n\right)+\left(9n+72\right)$$

Fattori in n nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$n\left(n+8\right)+9\left(n+8\right)$$

Fattorizza il termine comune n+8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n+8\right)\left(n+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n+8=0 e n+9=0.

$$n=-8 n=-9$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n^{2}+17n+72=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 17 a b e 72 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 72}}{2}$$

Eleva 17 al quadrato.

$$n=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 72}}{2}$$

Moltiplica -4 per 72.

$$n=\frac{-17±\sqrt{289-288}}{2}$$

Aggiungi 289 a -288.

$$n=\frac{-17±\sqrt{1}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$n=\frac{-17±1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-17±1}{2} quando ± è più. Aggiungi -17 a 1.

$$n=-\frac{16}{2}$$

Dividi -16 per 2.

$$n=-8$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-17±1}{2} quando ± è meno. Sottrai 1 da -17.

$$n=-\frac{18}{2}$$

Dividi -18 per 2.

$$n=-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=-8 n=-9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+17n+72=0$$

Sottrai 72 da entrambi i lati dell'equazione.

$$n^{2}+17n+72-72=-72$$

Sottraendo 72 da se stesso rimane 0.

$$n^{2}+17n=-72$$

Dividi 17, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{17}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{17}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}+17n+\left(\frac{17}{2}\right)^{2}=-72+\left(\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}+17n+\frac{289}{4}=-72+\frac{289}{4}$$

Aggiungi -72 a \frac{289}{4}.

$$n^{2}+17n+\frac{289}{4}=\frac{1}{4}$$

Fattore n^{2}+17n+\frac{289}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n+\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$n+\frac{17}{2}=\frac{1}{2} n+\frac{17}{2}=-\frac{1}{2}$$

Sottrai \frac{17}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$n=-8 n=-9$$