Risolvi f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Scomponi in fattori

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -20 e q divide il coefficiente iniziale 2. Una radice di questo tipo è -\frac{5}{2}. Fattorizza il polinomio dividendolo per 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Considera x^{3}+3x^{2}-4. Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -4 e q divide il coefficiente iniziale 1. Una radice di questo tipo è -2. Fattorizza il polinomio dividendolo per x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Considera x^{2}+x-2. Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-1 b=2$$

Riscrivi x^{2}+x-2 come \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata completa.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Calcola

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$